#原文笔记

作者简介

保罗·蔡茨，曾就读于哈佛大学历史系，继而于加州大学伯克利分校获得数学博士学位。

文前

探险家是迷路的人．——Tim Cahill,Jaguars Ripped My Flesh

当数学解题成为一种艺术时

作为一位数学老师，我每年都会购买大量新出版的书来学习，目的是为了让自己可以及时掌握各类考试和竞赛中出现的新题，不至于被时代所淘汰．

数学是一门需要不断通过解题来获得知识的课，因此学会“怎样解题”就成了数学这门课的关键所在．

最著名的当属美籍匈牙利数学家乔治·波利亚（George Pólya,1887-1985）那本畅销七十余年的经典之作《怎样解题：数学思维的新方法》．

我国著名的数学竞赛教练单墫教授也写了一系列的关于解题的著作，其中包括《我怎样解题》《解题漫谈》《解题研究》等书

如果按照道家的理论来说，波利亚更多地是从“道”这个层面来阐述，而单墫老师的解题系列则更多地是从“法”和“术”的层面来切入．“道”侧重理论，“法”和“术”侧重方法论．有道无术，容易沦为纸上谈兵；而有术无道又容易事倍功半．因此两者缺一不可．

但从解题者的角度分别讲述了代数、组合、数论、几何和微积分等知识

本书将数学解题从纯粹的技巧性，上升到了战略和战术层面，甚至还讲到了解题所应具备的心理学知识，进而把解题提高到了“艺术”的高度．

教，最终是为了不教．要成为一名解题高手，唯有跳出题目本身，站在更加高的层面，比如战略和战术来看解题这件事．

我特别推荐读者朋友们阅读本书后面所罗列的参考文献，里面有很多极为经典的数学书．

第3版译者序

战略、战术和工具这三个层次进行思考．

www.ituring.com.cn/book/2605）.本书部分问题的解题提示已翻译为中文，可到本书网页下载．

第2版译者序

基本知识的运用，而忽略了数学解题的真正意义与解题策略的传授．为了解题而解题，必然会使学生陷入机械的题海战术中，这与数学解题能力培养和数学奥林匹克竞赛的精神相违背

解决问题的方法是可以学习和传授的，成功解决问题的关键在于心理因素和非心理因素方面的战略规划、战术方法的运用，以及对问题不受任何限制的分析．”

第3版前言

做数学（或任何其他有意义的艺术创作）的“秘密”：迷路，迷恋，聚集！

第1版前言

这是一本定位于供大学生学习如何解决问题的入门书

问题和解决问题是数学的核心．

最重要的是，解题令人愉悦，真正的高手懂得享受数学带给他们的乐趣，理解并享受数学的美．

打个比方，普通的数学专业学生就像是那种一星期去健身房三次，每次都在各种运动器材上轻巧地重复同样运动的人．相反，喜欢解决问题的人则像是经常背着沉重的旅行包去徒步旅行的人．这两种人都能变得强壮，而通过解决问题锻炼的人则尝试到了冷、热、潮湿、疲劳和饥饿的感觉，他们可能会迷失方向而不得不到处寻找出路，会饱经风霜．但他们能爬到山顶，看到一般人意想不到的风景；他们能够到达奇妙而美丽的地方，更为历尽千辛万苦到达目的地而欣喜若狂；当他们回到家，会因为曾经的历险而充满活力，为曾经的经历而热情洋溢．而那些只去健身房锻炼的“温室花朵”只是在慢慢变得强壮，却不能从运动中享受到多少乐趣，也没有任何可以和别人一起分享的经历．

成功解决问题的关键在于心理因素，像信心、专心和勇气都是非常重要的．

学习这本书不需要太多的预备知识，只要掌握一点浅显的微积分就足够了，因为我把这本书的读者定位于大学数学系的学生．当然这本书也适合高中高年级学生以及各级别的自学者，特别是数学老师们．

本书的内容分成两部分．第一部分是总结解决问题的方法论，这也是全书的核心内容．第二部分包含四个独立成章的部分，即按解题者的角度分成代数、组合数学、数论和微积分四章．

任何时间只要是用在思考问题上都是值得的

读者在阅读的过程中有时不可避免地会茫然不知所措，感到非常痛苦，但是当完成这样一次旅行以后，你们的意志会变得坚强，并且欣喜若狂，而且随时准备着下一次的冒险旅行．

很多特定的解题方法都用到了将一个数学分支的问题转化为另一个数学分支的问题的技巧，比如，可以从几何角度解释一个代数不等式．

本书是用Macintosh电脑写作完成的，在Textures上运行LATEX, Textures是一个非常出色的排版程序，大大优于其他TEX软件．[插图]我向希望用TEX或LATEX软件写书的人推荐该软件（www.bluesky.com）．

可是，如果没有我的家庭，其他任何东西（甚至是数学的美）对我来说都是毫无意义的．

第1章 本书的内容及阅读方法

1.1 “练习”与“问题”

“练习”是你理解且可以立即解决的问题，练习的解答是否正确取决于你对特定技巧掌握的熟练程度，但你却从不用去琢磨究竟应使用何种技巧

那么这一题对于你来讲也仅仅是一个“练习”而已了．但如果我们从没见过这类题型，那么这一题对我们来说就是一个“问题”而不是“练习”了

一个户口调查员敲开一户人家的门，并询问屋内的妇女有几个小孩，孩子们都多大了．该妇女答道：“我有三个女儿，她们的年龄都是整数，并且她们年龄的乘积等于36.”“这些信息还不够算出你女儿的年龄．”户口调查员回答道．“我就是告诉你她们年龄的总和，你还是不能算出她们的年龄．”“我希望你能告诉我更多的信息．”“好吧，我大女儿安妮喜欢狗！”

一个好的问题应该是神秘而有趣的．

战略层次：掌握如何入手并分析问题的数学思想与心理策略；
战术层次：掌握解决问题的不同阶段所使用的数学方法；
工具层次：对特定的情形，注重特定的技巧和“窍门”.

1.2 解决问题的三个层次

在这里，我们使用战略、战术和工具这三个词来诠释解决问题的三个不同层次

需要总结的是你的战略思想，有时也包括一些战术思想

最好还是要培养自己形成一套系统的解决问题的思维方法．首先要从战略上进行思考，不要想着马上就能解决问题，而是在一个不那么专注的层面上思考问题．从战略上思考的目的就是得到这样一个计划：它可能几乎没有数学内容，但能够帮助我们解题，

问题通常有两种类型——证明题和解答题．

问题的条件和结论明确地叙述出来是非常有必要的

对任何问题，入题最好的一种战略是化抽象为具体．解决问题最好的习惯就是把思考过程记在稿纸上

我们大胆地猜测：对任意自然数n,f(n)都为某一个整数的平方减1．

就需要从战术上考虑表达式的形式．我们要熟练掌握这种表达式，要时刻记住我们的目标是要得到一个平方数，

我们不把括号中的两项相乘，而是将其凑成平方差公式：

开始的战略是定位，仔细阅读问题并确定该问题属于哪一类型，然后利用倒推法分析答案的倒数第二步以决定解题的战略，

有用的数学工具——待定系数法

1.3 题型

趣味题、竞赛题和开放性问题

这一类型的题也称为“脑筋急转弯”，通常极少涉及正式的数学逻辑，而是需要对基本的解题战略进行创造性的应用．

关于这一类题，马丁·加德纳多年来在《科学美国人》杂志上主持的“数学游戏”专栏非常经典，其中很多已编辑成书，其中最经典的两本书是文献[8]和[9].

竞赛题是为有时间限制的正式考试所编写的，其解答通常需要特定的数学工具和灵活的头脑．

(AHSME 1996)直角坐标系中，在不通过圆(x−6)2+(y−8)2=25连接点(0,0)和点(12,16)的所有路径中，最短路径长度为多少？

题1.3.5　(AHSME 1996)给定条件x2+y2=14x+6y+6，求3x+4y的最大值．

1.4 怎样阅读这本书

解决问题的方法和特定的数学思想

仔细地阅读每一节的开始部分，然后略读（或跳过）后面很难的部分，等以后再重新阅读．

第5-9章将从战术和工具的层次讲述数学思想的运用．

第4章是衔接一般解题思想和特定数学应用问题的桥梁．

学习数学既需要兴趣，也需要耐心，当你阅读一个例题时，在看文中的解题过程前，请尝试着自己做一遍，至少也应该在读完题后自己先思考下，而不是迫不及待地去看答案．你的积极性越高，投入的精力越多，才能越快地掌握解决问题的技巧，并从本书中得到更多的快乐．

解决问题的最高境界是要对解题充满激情，把它看作一项审美活动．

第2章 研究问题的战略

如果这山真的值得你攀登，那么你不但需要努力，需要具备一定的技巧，或许还需要一些运气．在你到达山顶之前，一些失败的尝试（委婉地说即一些勘察活动）也是不可避免的．

你必须努力寻找数学战术与解题战略之间的联系

心理战略可以帮助你建立一个良好的思维框架，其他战略可以帮助你开始研究．一旦开始解决问题，你就需要一个整体的战略来帮助你继续向前推进，直至得到解决方案．

每个问题的解题过程都涉及两个部分：分析问题，即发现问题是怎么回事；论证问题，在这一部分你需要说服别人同意你的发现．

2.1 心理战略

善于解决问题的人总是显得鹤立鸡群，好像他们的大脑和别人的不一样似的．他们更坚忍，对问题的敏感程度也比常人高，思维也更活跃

这也就是解题的途径．我们必须一再地去试，直到最后我们看出各种缝隙之间的细微差别为止．我们必须不断更换我们的试验，使得我们能探测到问题的各个方面．因为说实话，我们事先并不知道唯一能让我们挤过去的那道缝隙到底在哪一边．

有时我们就是解决不了一个问题，所以也要学会放弃，至少是暂时放弃．所有解决问题的高手都有承认失败的时候，解决问题的艺术中的一个重要环节就是知道何时该放弃．

初学者要取得显著的进步，在学习各种解决问题所需的数学技巧之前首先要做到坚韧不拔．

最终你能做到连续几个小时独立思考同一个问题，甚至几天乃至几个星期在头脑中反复考虑着某个问题，而将其他一切都置之脑后

请看右图，你能否将图中上方的方块与下方对应的方块用不相交的线连起来，且要求连线只能在图内．

不要匆匆看完题后就承认失败．首先要做的就是乐观地假设这个问题是可以解决的．

首先让我们开放自己的思维，撇开所有的规则和限制条件．这种异想天开的思维很有趣，对解决问题也很有帮助．

如果给出的问题很困难，就先解决一个比这一问题简单的类似问题．

记住：不要给自己时间上的压力．当你解决了问题或发现它无解的时候，你可能会有种从问题中“解脱”出来的快感．但花费一定的时间去理解这个问题会让人感觉更好，不要匆忙就宣称不可能，这样做是欺骗自己．

首先，我们使用了培养异想天开和乐观心态的心理战略．其次，我们使用了化难为易逐步解决问题的战略

很多数学家都是“柏拉图式理想主义者”，他们相信问题是已经“存在”的，而人们所要做的就是去“发现”而不是去“创造”问题．对于这些理想主义者来说，这些问题的解决过程是一种发现已经存在的解的艺术

这个解法最特别的地方就在于非常聪明地引入了第二个和尚．

要学会大方地将别人的新思想拿来并把它据为己有．

提高你接受新思想能力的一种方法就是保持“放松”状态，培养思维上的周边视觉．

解这一题时要把思维从九个点组成的虚拟边界中解放出来，否则就找不到解答．

这一字序符列是序列one, two, three, four, …的首字母组成的，因此答案为“nine”的首字母“N”

如果你使用周边视觉从整体上去看表格，你就能发现一些规律．

请找出下面序列的下一个成员．
1,11,21,1211,111221, …

这里实际的“恒定不变量”并不是30美元，而是客人付出的27美元，它等于行李工所得到的2美元加上送到前台的房费25美元．■

不要给自己的思维强加不必要的束缚．无论你什么时候碰到问题，都值得花1分钟或更长时间来问自己：“难道我一定要给自己强加本不需要的规则吗？难道我就不能改变规则或把规则转变成对我有利的吗？”

使平衡线的数量达到最大！

其根本思想就是极端原理

这一题的解法的另一显著特点则是对反证法的熟练运用

技巧是前提，这是我们一直所强调的，没有方法就不可能有好的艺术．但最终解决问题的经验却是一种美学

坚忍的心理素质，天马行空不受束缚的思维，日复一日地练习！

看看名著和别人的解迷过程．我最喜欢的小说有艾伦·坡（他也是破译密码的天才）的《金甲虫》，柯南·道尔的《福尔摩斯探案》系列（演绎和推断方面的名著），奥根·海瑞格（一个到日本学习剑术的西方人，他真正学到了怎样集中精神）的《剑术与禅心》，以及阿尔弗雷德·兰辛的《坚忍号》（讲述了在南极洲遇到海难后通过顽强的毅力而逃生的真实故事）.

如果你很难做到长时间集中精力，可以试试下面的训练：学习一些心算．首先，计算1到32的平方，并记下结果，然后使用恒等式x2−y2=(x−y)(x+y)快速心算，例如，要计算872，我们可以使用等式：

研究发现走路或跑步有益于思考，不信你可以尝试一下．）

下面请做个思维创新的练习，这项练习非常有趣：选一个物体，比如砖块，然后尽可能快速地给出它的更多用途，尝试不受任何思维的约束，甚至用一些可笑的想法．

题2.1.17　将非负整数分成如下三组：A={0,3,6,8,9, …}，B={1,4,7,11,14, …}，C={2,5,10,13, …}.请你解释这样分组的依据．

题2.1.18　你被困在一座长宽高都为15米，且离地30米高的房子里．房子拐角处靠近地板的地方有一扇打开的窗户，窗边有一个很结实的钩子固定在地板上．所以，如果你有一根30米长的绳子，就可以把绳子的一头系在钩子上，然后沿着绳子爬下去逃生．现有两根长为15米的绳子被固定在天花板上，靠近中央，相距0.3米．假定你能够轻松顺绳子攀爬，擅长给绳子打结，而且带有一把锋利的小刀，除此之外再无其他工具（甚至连衣服都没有）.绳子非常结实，足以承受你的体重，但不能纵向切割绳子．你能够从离地面不超过3米高的地方跳下逃生．问：怎样做才能从房中逃生？

2.2 开始分析问题的战略

例1.2.1中提及的倒推法和化抽象为具体的战略，例2.1.1中提及的异想天开和化难为易的战略．

对每个人来说，这就是解决问题的本质：只有当你长时间付出大量的精力，有时甚至得不到任何成果，才会灵光一现，找到解决问题的关键．

在考虑问题的结论时，特别是解答类型的题，有时自己先“猜想”一个答案，然后将它代到题中来重新阅读问题是非常有帮助的

不要在问题的定位上花太多的时间．一旦你清楚了问题和问题的条件，你就已经完成了对问题的定位．你可以花些时间猜测问题的答案或方法，但不要对此有太多期待．通常这需要进一步分析．

倒推法、化抽象为具体、异想天开和化难为易

你可以想一想：是什么限制条件使得问题变得很难解决？然后，想办法把这一条件排除掉！题目也许并不允许你这样做，但有谁会在意这些呢？暂时避开问题最难的部分能使你的解题工作取得进展，也许还能从中找到突破点．

花在思考上的时间都是值得的，哪怕看上去你没有取得任何进展．

整数有奇数个因数当且仅当该整数是完全平方数．

2.3 论证方法

分析（通过它你能发现问题是怎么回事）和论证（通过它你能让别人或者自己信服你的发现）

进一步来说，数学论证的流畅性会帮助你驾驭并修正你的分析

直接推理（也被称为“直接证明”），反证法和数学归纳法

反证法并不尝试直接证明问题，而是先假设结论不成立，然后说明这个假设会导致一个荒谬的结论．

当你开始思考一个问题时，永远应该先想想下面这个问题：“如果将结论否定会发生什么呢？我们会得到一些容易利用的结果吗？”如果答案是“会的”，那么请尝试利用反证法证明这个问题．

这是一个非常强大的工具，用来证明那些用整数作为“指标”的命题．

标准归纳法下面是标准归纳法的使用方法：(1)证明关于P(n0)的事实．这称为“基础情形”，并且证明起来通常很简单．(2)假设P(n)对于任意整数n均成立，这称为归纳假设．然后证明归纳假设蕴含着P(n+1)也成立．

归纳论证用起来可能相当精妙．有时充当“指标”n的变量并不明显，而有时关键性的一步就在于巧妙地选择这个变量，或者是从P(n)推导P(n+1)的简洁的算法．

2.4 其他重要战略

要成为一名有创造力的解题者，其开放思维的核心就是随时注意到问题能否用不同的方式来表示．

当一个问题涉及一些代数变量时，花些时间思考这些变量能否被理解为坐标总是值得的．

将一个问题从文字形式转化为图形形式的方法，只是周边视觉战略的一个基本方面．发散你的思维用其他方法来重新理解问题

数学中的最显著的一些进步恰恰出现在某人发现了一种新的重新表述方法之后．例如，笛卡儿将几何问题转化为数值和代数形式，并推动了解析几何的发展，进而推动了微积分的发展．

改变视角是周边视觉战略的另一种表现形式．有时问题看起来很难只是因为我们选择了“错误”的视角．花一些时间来寻找“自然”的视角会有很大收获．

第3章 问题求解的战术

所谓战术是被广泛应用的数学方法，并且常常能起到简化问题的作用．仅仅使用战略很少能解决问题，

很多解决问题的基础战术都会涉及寻找次序．一些问题很难解决，是因为它们看起来“混乱”或无序，问题可能显得缺少某些部分（事实、变量、模式），或者各部分之间看不出有什么联系．发现（并利用）这些次序就能很快地简化这类问题．

3.1 对称

如果存在一个或者多个非平凡的“操作”使得物体没有发生变化，就称这个物体是对称的．将有上述特性的操作称为对称操作．

对称性为什么非常重要呢？因为它能提供“免费的”信息，起到简化问题的作用．

周边视觉和打破规则的战略告诉我们应在一些看似不太可能的地方寻找对称，而不要担心某些地方“看起来不那么对称”．

每当我们观察问题时，都先寻找和谐与美．即便我们不知道怎么定义这两个词，但是，当我们使得自己做的东西更和谐或更美时，就已经走上了正确的道路．

• 对称的关系是否存在？• 如果不存在的话，能否找到一个近似的对称？• 如何发现对称关系？

最简单的几何对称问题是旋转对称和镜像对称

当考虑一个对称情形时，应该将注意力集中在那些对称以后不变的“固定”物体上

发现问题中任何形式的对称关系，然后仔细思考是否能通过建立配对的关系起到简化问题的作用．

3.2 极端原理

如果可能的话，把你要解决的问题中的各个元素假想为是“有顺序”的．关注其中的“最大”和“最小”的元素，它们也许会形成一种令人感兴趣的结果．

先假设你想证明的结果不成立，然后观察最小（或者最大）的元素，并且论证存在一个更小（或者更大）的元素，最后便得到需要的矛盾

3.3 鸽笼原理

如果你拥有的鸽子比鸽笼要多，当你打算把这些鸽子放进这些鸽笼里时，至少有一个鸽笼要装最少两只鸽子．

3.4 不变量

战略就是通过一定办法“简化”问题从而将注意力集中在本质的几点上

单调变量是这样一个变量，它在问题的各个阶段可能变化或者保持不变，但是当它变化时，变化方向是单调的（只朝一个方向变动）．单调变量又叫半不变量．